Перевод бесконечной периодической дроби в обыкновенную – это процесс преобразования числа, записанного в виде бесконечной десятичной дроби с периодической последовательностью, в вид обыкновенной дроби. Данная процедура позволяет представить число компактным и точным образом, и является важным инструментом в математике и ее применениях.
Виды периодических дробей
Простая периодическая дробь
Простая периодическая дробь имеет только один блок периода, который повторяется бесконечное количество раз. Например, 1/3 = 0.3333… имеет блок периода “3”. Простая периодическая дробь может быть представлена как обыкновенная дробь, где числитель – это блок периода, а знаменатель – степень десяти, соответствующая количеству цифр в блоке периода.
Составная периодическая дробь
Составная периодическая дробь имеет несколько блоков периода, которые повторяются в определенном порядке. Например, 1/7 = 0.142857142857… имеет два блока периода “142857”, которые повторяются поочередно. Составная периодическая дробь также может быть представлена как обыкновенная дробь, где числитель – это сумма каждого блока периода, умноженная на соответствующую степень десяти, а знаменатель – степень десяти, соответствующая количеству цифр в каждом блоке периода.
Обратно периодическая дробь
Обратно периодическая дробь имеет период, который повторяется после запятой и перед запятой. Например, 0.151515… является обратно периодической дробью с периодом “15”. Обратно периодическую дробь можно представить как сумму двух обыкновенных дробей: одна образуется из периода за запятой, а другая – из периода перед запятой.
Смешанная периодическая дробь
Смешанная периодическая дробь это десятичная дробь, которая состоит из целой части и периодической дроби. Например, 2.3333… является смешанной периодической дробью, где целая часть равна 2, а периодическая дробь имеет блок периода “3”. Смешанную периодическую дробь можно представить как сумму целой части и обыкновенной дроби, где числитель – это блок периода, а знаменатель – степень десяти, соответствующая количеству цифр в блоке периода.
Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь
При переводе бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь, необходимо следовать определенным шагам.
Давайте рассмотрим пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Шаг 1: Определение начала периода
Рассмотрим бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(3). Чтобы определить начало периода, нужно увидеть, что цифра 3 повторяется. Значит, начало периода – это цифра 3.
Шаг 2: Определение конца периода
В данном примере, мы видим, что весь набор цифр после начала периода 3 повторяется бесконечно. Значит, конец периода – это последняя цифра набора, в данном случае это также 3.
Шаг 3: Запись обыкновенной дроби
Теперь, когда мы определили начало и конец периода, можем записать обыкновенную дробь в виде неполного частного между числителем и знаменателем.
Числитель: В числителе будет записано число, которое получается путем вычитания из суммы цифр периода (в данном случае 3) суммы цифр, которые идут до периода (в данном случае 0).3 – 0 = 3
Знаменатель: В знаменателе будет записано число, которое состоит из столько же цифр, сколько цифр в периоде, и все эти цифры равны 9.
В данном случае период состоит из одной цифры (3), поэтому знаменатель будет равен 9.
Результат
Итак, посчитав числитель и знаменатель, получаем обыкновенную дробь:
Обыкновенная дробь:
0,(3) = 3⁄9
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь 0,(3) может быть записана в виде обыкновенной дроби 3⁄9.
Определение периодической дроби
Для примера, если рассмотреть дробь 0.25, она может быть представлена как 0.25(0). Это означает, что цифра 0 будет повторяться в бесконечности после десятичной точки. Другой пример – дробь 0.333…, которая может быть записана как 0.(3), что означает, что цифра 3 будет повторяться в бесконечности.
Периодические десятичные дроби могут быть представлены в виде обыкновенных дробей с помощью математических операций. Это удобно для многих вычислений и применений в математике.
В целом, периодические дроби представляют собой интересный математический объект, который имеет свои особенности и приложения.
Итог: